# 核技巧在SVM中的应用

根据[上文](https://windmising.gitbook.io/lihang-tongjixuexifangfa/11)可知，将核技巧应用于线性SVM中，可使线性SVM能够解决非线性问题。

根据[上文](https://windmising.gitbook.io/lihang-tongjixuexifangfa/7/8)可知，\
线性SVM最终要解决的是以下最优化问题：

$$
\begin{aligned}
W(a) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Na_ia_jy_iy_j\color{red}{(x_i\cdot x_j)} - \sum_{i=1}^Na_i && {1}
\end{aligned}
$$

以及最终的分类决策函数为：

$$
\begin{aligned}
f(x) = \text {sign}(\sum_{i=1}^Na^*_iy_i\color{red}{x_i^* \cdot x} + y_j - \sum_{i=1}^Ny_ia^*_i\color{red}{(x_i \cdot x_j)}) && {2}
\end{aligned}
$$

在公式（1）和公式（2）中都只涉及x之间的内积，这些内积极都可以直接用$$K(x,z)$$代替\
公式（1）变为：

$$
\begin{aligned}
W(a) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Na_ia_jy_iy_j\color{red}{K(x_i,x_j)} - \sum_{i=1}^Na_i && {3}
\end{aligned}
$$

公式（2）变为：

$$
\begin{aligned}
f(x) = \text {sign}(\sum_{i=1}^Na^*_iy_i\color{red}{K(x_i,x)} + y_j - \sum_{i=1}^Ny_ia^*_i\color{red}{K(x_i, x_j)}) && {4}
\end{aligned}
$$
