# 证明：对偶函数的极大化=模型的极大似然估计

## 模型的极大似然估计

条件概率分布P(Y|X)的对数似然函数表示为：

```
\begin{aligned}
L_{\tilde P}(P_w) = \log \prod_{x,y}P(y|x)^{\tilde P(x, y)} \\
= \sum_{x,y}\tilde P(x, y)\log P(y|x) && {1}
\end{aligned}
```

当条件概率分布P(Y|X)是最大熵模型时，即

$$
\begin{aligned}
P(y|x) = \frac{exp(\sum_{i=0}^n)w_{i+1}f_i(x, y)}{exp(1-w+0)} && {2}
\end{aligned}
$$

将公式（2）代入公式（1）得：

$$
L_{\tilde P}(P_w) = \sum_{x,y} \tilde P(x, y) \sum_{i=0}^n w_{i+1}f_i(x, y) - \sum_x \tilde P(x) \log Z_w(x)
$$

## 对偶函数的极大化

对偶函数定义如下：

$$
\begin{aligned}
\Psi (w) =  L(P_w, w) \\
= \sum_{x,y}\tilde P(x) P_w(y|x)\log P_w(y|x) \\
= \sum_{x,y} \tilde P(x, y) \sum_{i=0}^n w_{i+1}f_i(x, y) - \sum_x \tilde P(x) \log Z_w(x)
\end{aligned}
$$

## 结论

$$
L_{\tilde P}(P_w) = \Psi (w)
$$

即：对偶函数的极大化=模型的极大似然估计
