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  • Ordinary Differential Equation (ODE):
  • Stochastic Differential Equation (SDE):

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  2. NumericalComputation

ODE_SDE

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Last updated 1 year ago

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Ordinary Differential Equation (ODE):

dxdt=f(x,t)ordx=f(x,t)dt\frac{d\mathbf{x} }{dt} =\mathbf{f} (\mathbf{x},t) \quad \mathrm{or} \quad d\mathbf{x} =\mathbf{f} (\mathbf{x} ,t)dtdtdx​=f(x,t)ordx=f(x,t)dt

✅ 图中描述了一个 function,这个函数没有闭式解,而是 \(\mathbf{x}\) 随着时间的变化。 ✅ \(f(\mathbf{x},t)\) 描述的是一个随时间变化的场 \(f(\mathbf{x},t)\) 可以是一个用网络拟合的结果。

Analytical Solution:

x(t)=x(0)+∫0tf(x,τ)dτ\mathbf{x} (t)=\mathbf{x} (0)+\int_{0}^{t} \mathbf{f} (\mathbf{x} ,\tau )d\taux(t)=x(0)+∫0t​f(x,τ)dτ

✅ 这个积分经常无法计算,因此把离散化。

Iterative Numerical Solution:

x(t+Δt)≈x(t)+f(x(t),t)Δt\mathbf{x} (t+\Delta t)\approx \mathbf{x} (t)+\mathbf{f} (\mathbf{x} (t),t)\Delta tx(t+Δt)≈x(t)+f(x(t),t)Δt

Stochastic Differential Equation (SDE):

✅ \(\sigma \) 描述 noise 的 scale。\(\omega _ t\) 描述噪声。 ✅ SDE 在每个时间步注入高斯白噪声。因此多次求解 \(\mathbf{x}(t)\) 的结果是不一样的。