4个等式的证明

等式一

证明：$\delta^L_j = \frac{\partial C}{\partial a^L_j} \sigma'(z^L_j)$

等式（1）得证

等式二

证明：$\delta^l = ((w^{l+1})^T \delta^{l+1}) \odot \sigma'(z^l)$

等式二得证

公式（45）说明：

等式三

证明：$\frac{\partial C}{\partial b^l_j} = \delta^l_j$

本章在4个等式的形式和证明过程中，下标有些混乱，给理解公式带来障碍，这里把下标的含义重新申请一下： j：当前层的神经元的下标 k：下一层神经元的下标 i：上一层神经元的下标

书上已经写给了$z^{l+1}_k$与$w^{l+1}_{kj}$、$b^{l+1}_k$的关系为：

同理可写出$z^{l}_j$与$w^{l}_{ji}$、$b^{l}_j$的关系为：

等式三得证

等式四

证明：$\frac{\partial C}{\partial w^l_{jk}} = a^{l-1}_k \delta^l_j$

根据等式三中关于下标的定义，等式四应调整为：

$$\frac{\partial C}{\partial w^l_{ji}} = a^{l-1}_i \delta^l_j$$

等式三得证