一个新的定义

令 $\delta^l_j$：l层第j个神经元的error。 $\delta^l$：l层神经元的error向量。

$\Delta z^l_j$

已知第l层第j个神经元的输出为：

$$a^l_j = \sigma(z^l_j)$$

假设在神经元的加权输入上加上一点扰动，使得：

$$a^l_j = \sigma(z^l_j+\Delta z^l_j)$$

a^l_j的变化通过网络传播到下一层，使得最终的代价也会变化。变化量为：

$$\frac{\partial C}{\partial z^l_j} \Delta z^l_j$$

让最终的cost尽量小

如果我们希望找到一个合适的$\Delta z^l_j$，使得cost变小。 场景一：$|\frac{\partial C}{\partial z^l_j}|$非常大。 只需要令$\Delta z^l_j$为一个与$\frac{\partial C}{\partial z^l_j}$相反的数，就可以有效低使cost变小。 场景二：$|\frac{\partial C}{\partial z^l_j}|$接近0。 很难通过$\Delta z^l_j$来改变cost。那么认为这个神经元已经在最优状态附近了，很难有改进空间。

$\delta^l_j$

通过上面的分析可以发现，$\frac{\partial C}{\partial z^l_j}$可以用于衡量这个神经元离最优状态还有多远。 定义：

\begin{eqnarray} \delta^l_j \equiv \frac{\partial C}{\partial z^l_j}. \tag{29}\end{eqnarray}

反向传播算法会先计算每个神经元的$\delta^l_j$，再根据$\delta^l_j$去计算它们的w和b

其它

问：为什么改变的是神经元的加权输入而不是神经元的输入? 答：用神经元的输入来计算会增加计算的复杂度。