9.3-6 nlgk时间求k分位数

一、题目

对一个含有n个元素的集合来说，所谓k分位数（the kth quantile），就是能把已排序的集合分成k个大小相等的集合的k-1个顺序统计量。给出一个能列出某一集合的k分位数的O(nlgk)时间的算法

二、思考

令每个子集合的元素个数为t = n / k，A[j]是数组A中下标为j的元素，A(j)是数组是第j大的元素

则所求的k分位数是指A(t)，A(2t)，A(3t)，……，A((k-1)t)

按顺序依次求这k-1个数的运行时(k-1)*n

要使运行时间为O(nlgk)，改进方法是不要依次寻找这k-1个数，而是借用二分的方法来找。

先找第k/2个分位数，再以这个分位数为主元把数组分为两段，分别对这两段来找分位数，这个时候找的范围变小了，效率也就提高了

三、代码

#include <iostream>
using namespace std;

int t, length_A;
void Print(int *A, int len)
{
    int i;
    for(i = 1; i <= len; i++)
        cout<<A[i]<<' ';
    cout<<endl;
}
/*************最坏情况线性时间的选择**************************************************/
//已经出现很多次了，不解释
int Partition(int *A, int p, int r)
{
    int x = A[r], i = p-1, j;
    for(j = p; j < r; j++)
    {
        if(A[j] <= x)
        {
            i++;
            swap(A[i], A[j]);
        }
    }
    swap(A[i+1], A[r]);
    return i+1;
}
int Select(int *A, int p, int r, int i);
//对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值
//插入排序很简单，不解释
int Insert(int *A, int start, int end, int k)
{
    int i, j;
    for(i = 2; i <= end; i++)
    {
        int t = A[i];
        for(j = i; j >= start; j--)
        {
            if(j == start)
                A[j] = t;
            else if(A[j-1] > t)
                A[j] = A[j-1];
            else
            {
                A[j] = t;
                break;
            }
        }
    }
    return A[start+k-1];
}
//根据文中的算法，找到中值的中值
int Find(int *A, int p, int r)
{
    int i, j = 0;
    int start, end, len = r - p + 1;
    int *B = new int[len/5+1];
    //每5个元素一组，长度为start到end，对每一组进行插入排序，并返回中值
    for(i = 1; i <= len; i++)
    {
        if(i % 5 == 1)
            start = i+p-1;
        if(i % 5 == 0 || i == len)
        {
            j++;
            end = i+p-1;
            //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值,如果是最后一组，组中元素个数可能少于5
            int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1);
            //把每一组的中值挑出来形成一个新的数组
            B[j] = ret;    
        }
    }
    //对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值
    int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2);
    //delete []B;
    return ret;
}
//以f为主元的划分
int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
{
    int i;
    //找到f的位置并让它与A[r]交换
    for(i = p; i < r; i++)
    {
        if(A[i] == f)
        {
            swap(A[i], A[r]);
            break;
        }
    }
    return Partition(A, p, r);
}
//寻找数组A[p..r]中的第i大的元素，i是从1开始计数，不是从p开始
int Select(int *A, int p, int r, int i)
{
    //如果数组中只有一个元素，则直接返回
    if(p == r)
        return A[p];
    //根据文中的算法，找到中值的中值
    int f = Find(A, p, r);
    //以这个中值为主元的划分，返回中值在整个数组A[1..len]的位置
    //因为主元是数组中的某个元素，划分好是这样的，A[p..q-1] <= f < A[q+1..r]
    int q = Partition2(A, p, r, f);
    //转换为中值在在数组A[p..r]中的位置
    int k = q - p + 1;
    //与所寻找的元素相比较
    if(i == k)
        return A[q];
    else if(i < k)
        return Select(A, p, q-1, i);
    else
        //如果主元是数组中的某个元素，后面一半要这样写
        return Select(A, q+1, r, i-k);
        //但是如果主元不是数组中的个某个元素，后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1)
}
//数组A中，求从start到end这段的分位数。这一段有k个分位数，即第ks+1个分位到第ks+k个分位数
void K_Quantile(int *A, int *B, int k, int start, int end, int ks)
{
    if(k == 0)
        return;
    //先找最中间的分位数
    int x = Select(A, start, end, ((k+1)/2)*t);
    //记录这个分位数
    B[ks+(k+1)/2] = x;
    //以这个分位数为主元把数组分为两段，调度的时候发现这一步没什么用，因为SELECT已经包含了分段的过程
    Partition2(A, start, end, x);
    //分别找前后两个的分位数
    K_Quantile(A, B, (k-1)/2, start, (ks+(k+1)/2)*t, 0);
    K_Quantile(A, B, k/2, (ks+(k+1)/2)*t+1, end, ks+(k+1)/2);
}
int main()
{
    int i, k;
    while(cin>>length_A>>k)
    {
        if(length_A % k)
        {
            cout<<"不能划分为k个大小相等的集合"<<endl;
            continue;
        }
        t = length_A / k;
        //A是输入数组
        int *A = new int[length_A+1];
        //B是输出数组，记录k-1个分位数
        int *B = new int[k];
        //构造随机数据
        for(i = 1; i <= length_A; i++)
            A[i] = rand() % 100;
        //打印输入数组
        Print(A, length_A);
        //求k分位数算法
        K_Quantile(A, B, k-1, 1, length_A, 0);
        //打印输出数组
        Print(B, k-1);
    }
    return 0;
}