练习题
9.1 最小值和最大值
9.2 以期望线性时间做选择
9.2-3
RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)
1 while true
2 if p = r
3 then return A[p]
4 q <- RANDIMIZED-PARTITION(A, p, r)
5 k <- q - p + 1
6 if i = k
7 then return A[q]
8 else if i < k
9 then q <- q-1
10 else
11 q <- q + 1
12 i <- i - k
9.2-4
A = {3, 2, 9, 0, 7, 5, 4, 8, 6, 1}
==> A = {3, 2, 0, 7, 5, 4, 8, 6, 1, 9}
==> A = {3, 2, 0, 7, 5, 4, 6, 1, 8, 9}
==> A = {3, 2, 0, 5, 4, 6, 1, 7, 8, 9}
==> A = {3, 2, 0, 5, 4, 1, 6, 7, 8, 9}
==> A = {3, 2, 0, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 9}
==> A = {3, 2, 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
==> A = {2, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
==> A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
==> A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
==> A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
9.3 最坏情况线性时间的选择
9.3-3
先中SELECT选择中值,再用这个中值进行划分,代码见算法导论-9.3-3
QUICKSORT(A, p, r)
1 if p > r
2 then return
3 i <- (r-p+1) / 2
4 x <- SELECT(A, p, r, i)
5 q <- PARTITION(A, p, r, x) //以x为主元的划分
6 QUICKSORT(A, p, q-1)
7 QUICKSORT(A, q+1, r)
9.3-5
SELECT(A, p, r, i)
1 if p = r
2 then return A[p]
3 x <- MEDIAN(A, p, r)
4 q <- PARTITION(A, p, r, x) //以x为主元的划分
5 k <- q - p + 1
6 if i = k
7 then return A[q]
8 else if i < k
9 then return SELECT(A, p, q-1, i)
10 else return SELECT(A, q+1, r, i-k)
9.3-6
令每个子集合的元素个数为t = n / k,A[j]是数组A中下标为j的元素,A(j)是数组是第j大的元素
则所求的k分位数是指A(t),A(2t),A(3t),……,A((k-1)t)
按顺序依次求这k-1个数的运行时(k-1)*n
要使运行时间为O(nlgk),改进方法是不要依次寻找这k-1个数,而是借用二分的方法来找。
先找第k/2个分位数,再以这个分位数为主元把数组分为两段,分别对这两段来找分位数,这个时候找的范围变小了,效率也就提高了
见算法导论-9.3-6
9.3-7
step1:求出数组的中位数的值O(n)
step2:计算数组每个数与中位数差的绝对值,存于另一个数组B中O(n)
step3:求出数组B中第k小的数ret O(n)
step4:计算数组S中与ret差的绝对值小于ret的数并输出O(n)
其中,step4也可以通过划分的方法找出数组S中与ret差的绝对值小于ret的数
代码见算法导论-9.3-7
9.3-8
递归求解该问题,解题规模不断减半,最后剩下4个元素时,得到问题的解
分别取两个数组的中值minA和minB进行比较
如果minA=minB,那么这个值就是结果
否则,小的那个所在的数组去掉前面一半,大的那个去掉后面一半。(对于两个数组的中值,共有n-1个元素,有n个元素比它大。但是对于min(minA,minB),最多只有n-2个元素比它小,所以一定不是所求的结果,同理去掉大的一半)
然后对剩余的两个数组,用同的方法求它们的中值,直到两个数组一共剩下4个元素
代码见算法导论-9.3-8
9.3-9
这题其实挺简单的,就是不一定能找到这个规律。
为了简化这道题,不考虑点的y坐标,假设所有的点都在一条与管道垂直的线上
假如有两个点AB,分别在管道l的上下,那么不管这条管道在什么位置(只要在AB之间),d[Al]+d[bl]=d[AB]。
根据以上规律,把每两个点分为一组,第i组中的点是(第i大的点,第i小的点),只要管道在每组的两个点之间,就能保证长度总和最小。
由以上推理得出答案:
令所以x作为的中值为s(i),
如果点的个数是奇数,管道过s(i)点
如果点的个数是偶数,管道位于点s(i)和s(i+1)之间(包括这两点)
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