第9章 排序和顺序统计学算法导论

一、概念

第i个顺序统计量是该集合中第i小的元素。 当n为奇数时，中位数是出现在i=(n+1)/2处的数。当n为偶数时，中位数分别出现在i=n/2和i=(n+1)/2处。 在本文中，忽略n的奇偶性，中位数是指出现在i=(n+1)/2处的数。 本文假设集合中的数互异。

二、代码

#include <iostream>
using namespace std;
//书中的程序
int length_A;
void Print(int *A)
{
    int i;
    for(i = 1; i <= length_A; i++)
        cout<<A[i]<<' ';
    cout<<endl;
}
/***********线性时间求最小值******************************************************/
int Minimun(int *A)
{
    int Min = A[1], i;
    //依次查看集合中的每个元素
    for(i = 2; i < length_A; i++)
        //记录比较过程中最小的元素
        if(Min > A[i])
            Min = A[i];
    return Min;
}
/***********通过3n/2次比较求最小值和最大值******************************************************/
void MinAndMax(int *A,int &Min, int &Max)
{
    int i;
    //如果n是奇数
    if(length_A % 2 == 1)
    {
        //将最大值和最小值设置为第一个元素
        Min = A[1];
        Max = A[1];
        i = 2;
    }
    //如果n是偶数
    else
    {
        //将前两个元素作一次比较，以决定最大值怀最小值的初值
        Min = min(A[1], A[2]);
        Max = A[1] + A[2] - Min;
        i = 3;
    }
    //成对地处理余下的元素
    for(; i <= length_A; i=i+2)
    {
        //将一对输入元素互相比较
        int a = min(A[i], A[i+1]);
        int b = A[i] + A[i+1] - a;
        //把较小者与当前最小值比较
        if(a < Min)
            Min = a;
        //把较大者与当前最大值比较
        if(b > Max)
            Max = b;
    }
}
/**************以期望线性时间作选择**************************************/
//已经出现很多次了，不解释
int Partition(int *A, int p, int r)
{
    int x = A[r], i = p-1, j;
    for(j = p; j < r; j++)
    {
        if(A[j] <= x)
        {
            i++;
            swap(A[i], A[j]);
        }
    }
    swap(A[i+1], A[r]);
    return i+1;
}

int Randomized_Partition(int *A, int p, int r)
{
    //随机选择数组中一个数作为主元
    int i = rand() % (r-p+1) + p;
    swap(A[r], A[i]);
    //划分
    return Partition(A, p, r);
}
//i是从1开使计数的，不是从p开始
int Randomized_Select(int *A, int p, int r, int i)
{
    if(p == r)
        return A[p];
    //以某个元素为主元，把数组分为两组，A[p..q-1] < A[q] < A[q+1..r]，返回主元在整个数组中的位置
    int q = Randomized_Partition(A, p, r);
    //主元是整个数组中的第q个元素，是A[p..r]数组中的第k个元素
    int k = q - p + 1;
    //所求的i中A[p..r]中的第i个元素
    if(i == k)//正是所求的元素
        return A[q];
    else if(i < k)//所求元素<主元，则在A[p..q-1]中继续寻找
        return Randomized_Select(A, p, q-1, i);
    else//所求元素>主元，则在A[q+1..r]中继续寻找
        return Randomized_Select(A, q+1, r, i-k);
}
/*************最坏情况线性时间的选择**************************************************/
int Select(int *A, int p, int r, int i);
//对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值
//插入排序很简单，不解释
int Insert(int *A, int start, int end, int k)
{
    int i, j;
    for(i = 2; i <= end; i++)
    {
        int t = A[i];
        for(j = i; j >= start; j--)
        {
            if(j == start)
                A[j] = t;
            else if(A[j-1] > t)
                A[j] = A[j-1];
            else
            {
                A[j] = t;
                break;
            }
        }
    }
    return A[start+k-1];
}
//根据文中的算法，找到中值的中值
int Find(int *A, int p, int r)
{
    int i, j = 0;
    int start, end, len = r - p + 1;
    int *B = new int[len/5+1];
    //每5个元素一组，长度为start到end，对每一组进行插入排序，并返回中值
    for(i = 1; i <= len; i++)
    {
        if(i % 5 == 1)
            start = i+p-1;
        if(i % 5 == 0 || i == len)
        {
            j++;
            end = i+p-1;
            //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值,如果是最后一组，组中元素个数可能少于5
            int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1);
            //把每一组的中值挑出来形成一个新的数组
            B[j] = ret;    
        }
    }
    //对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值
    int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2);
    //delete []B; //很奇怪，这句话应该是没问题的，但是怎么一运行到这句话就死机呢？
    return ret;
}
//以f为主元的划分
int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
{
    int i;
    //找到f的位置并让它与A[r]交换
    for(i = p; i < r; i++)
    {
        if(A[i] == f)
        {
            swap(A[i], A[r]);
            break;
        }
    }
    return Partition(A, p, r);
}
//寻找数组A[p..r]中的第i大的元素，i是从1开始计数，不是从p开始
int Select(int *A, int p, int r, int i)
{
    //如果数组中只有一个元素，则直接返回
    if(p == r)
        return A[p];
    //根据文中的算法，找到中值的中值
    int f = Find(A, p, r);
    //以这个中值为主元的划分，返回中值在整个数组A[1..len]的位置
    //因为主元是数组中的某个元素，划分好是这样的，A[p..q-1] <= f < A[q+1..r]
    int q = Partition2(A, p, r, f);
    //转换为中值在在数组A[p..r]中的位置
    int k = q - p + 1;
    //与所寻找的元素相比较
    if(i == k)
        return A[q];
    else if(i < k)
        return Select(A, p, q-1, i);
    else
        //如果主元是数组中的某个元素，后面一半要这样写
        return Select(A, q+1, r, i-k);
        //但是如果主元不是数组中的个某个元素，后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1)
}
int main()
{
    cin>>length_A;
    int *A = new int[length_A+1], i, cnt;
    //生成测试数据
    for(i = 1; i <= length_A; i++)
        A[i] = rand() % 100;
    cin>>cnt;
    //显示测试数据
    Print(A);
    //输出结果
    if(cnt <= length_A)
        cout<<Select(A, 1, length_A, cnt)<<endl;
    return 0;
}