15-3 编辑距离

题目概述

有六种操作，分别是复制（copy）、替换（replace）、删除（delete）、插入（insert）、交换（twiddle）、消灭（kill）。将这六种操作任意组合（可以重复或者没有）得到一个操作序列。操作序列的输入是一个字符串，操作的输出是另一个字符串。例如字符串algorithm，经过以下操作序列，得到字符串altruistic。一个字符串src，变成另一个字符串dst，可以很多种方法。题目要求对于给定的src和dst，找到一种最优的操作序列，包含最少的操作个数，使src变成dst。输出这个操作序列。操作序列中操作的个数就是src到dst的编辑距离。

下面具体解释这六种操作的内容即i和j的含义： i是src的下标，j是dst的下标。操作开始前，i = j = 0。令x为任意的字符 copy: dst[j] = src[i], i++, j++ replace: dst[j] = x, i++, j++ delete: i++ insert: dst[j] = x, j++ twiddle: dst[j] = src[i+1], dst[j+1] = src[i], i += 2, j += 2 kill: 消灭src中剩下的字符。如果执行这个操作，则它必是最的操作。

思考

对于DP问题，首先要想清楚的是初始化过递推。题目中i和j的递增给了很好的提示。定义c[i,j]为src的子串src[0,i]变化为dst的子串dst[0,j]的过程的编辑距离。那么c[src.length(), dst.length()]即src到dst的编辑距离。这里只是希望操作的个数最少，在操作个数相同的情况下，用什么操作是没有差别的，即每个操作的代价是一样的，即cost(operation) = 1

（1）初始化

c[0,0]=0
c[i,0] = i * cost(delete)
c[0,j] = j * cost(insert)

（2）递推

令c[i, j] = a，根据每个operation的规则，有以下推理

copy: dst[j] = src[i], i++, j++ ==> c[i+1, j+1] = a + cost(copy)
replace: dst[j] = x, i++, j++  ==> c[i+1, j+1] = a + cost(replace)
delete: i++ ==>  c[i+1, j] = a + cost(delete) 
insert: dst[j] = x, j++  ==> c[i, j+1] = a + cost(insert)
twiddle: dst[j] = src[i+1], dst[j+1] = src[i], i += 2, j += 2  ==> c[i+2, j+2] = a + cost(twiddle)
kill: 消灭src中剩下的字符。如果执行这个操作，则它必是最的操作。

（3）反推

（4）最后的操作kill

c[i][j] = MIN(c[m,n], MIN(c[i,n]+cost(kill)))，其中0<=i<m

代码

DNA对齐问题

DNA对齐问题可以看作是带权值的编辑距离问题。在编辑距离问题中，所有的操作都看作是一样，即cost(operation) = 1 现在把其中一操作加上权值，求最小值改成求最大值，就是DNA对齐问题了。

copy : 1
replace : -1
insert : -2
delete ： 去掉
twiddle : 去掉
kill ： 去掉

原题

思考题

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