expectation_variance

期望

离散型变量期望:

ExP[f(x)]=xP(x)f(x)E_{x\sim P}[f(x)] = \sum_x P(x)f(x)

连续型变量期望:ExP[f(x)]=p(x)f(x)dxE_{x\sim P}[f(x)] = \int p(x)f(x)dx

方差

Var(f(x))=E[(f(x)E[f(x)])2]Var(f(x)) = E[(f(x) - E[f(x)])^2]

标准差=$\sqrt \text{方差}$

协方差

两个变量线性相关性的强度以及这些变量的尺度

Cov(f(x),g(x))=E[(f(x)E[f(x)])(g(x)E[g(x)])]Cov(f(x),g(x)) = E[(f(x)-E[f(x)])(g(x)-E[g(x)])]

意义(没看懂):

  1. 绝对值很大:变量值变化很大,距离各自均值很远

  2. 负的:一个变量倾向于取得相对较大的值,另一个变量倾向于取得相对较小的值。反之亦然。

  3. 为0:没有线性关系,但不一定独立

协方差矩阵

xRnCov(X)i,j=Cov(Xi,Xj)方阵Cov(X)i,i=Var(Xi)\begin{aligned} x \in R^n\\ Cov(X)_{i,j} = Cov(X_i, X_j) \text{方阵}\\ Cov(X)_{i,i} = Var(X_i) \end{aligned}

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