Rotation matrix 旋转矩阵

在线性代数中，旋转矩阵是用于在欧几里得空间中执行旋转的变换矩阵。

旋转矩阵是行列式 1 的正交矩阵。旋转矩阵描述了围绕原点的旋转。旋转矩阵的逆是它的转置，也是一个旋转矩阵。两个旋转矩阵的乘积是一个旋转矩阵。对于 n > 2，n × n 旋转矩阵的乘法通常是不可交换的。

二维旋转矩阵

二维旋转矩阵具有以下形式：

R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}

通过以下矩阵乘法旋转列向量，

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.

因此，点 (x, y) 旋转后的新坐标 (x′, y′) 为

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned}}.

[success]

如果 $θ$ 为正（例如 90°），则矢量旋转方向为逆时针方向，如果 $θ$ 为负（例如 -90°），则矢量旋转方向为顺时针。因此，顺时针旋转矩阵为

R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.

二维旋转矩阵组是唯一非平凡的（即非一维）可交换情况，因此执行多次旋转的顺序无关紧要。另一种约定使用旋转轴，[1] 并且上述矩阵也表示轴顺时针旋转角度 $θ$ 。

^ 请注意，如果不是旋转矢量，而是旋转参考系，则 sin θ 项上的符号将反转。如果参考系 A 绕原点逆时针旋转角度 θ 以创建参考系 B，则 Rx（符号翻转）会将参考系 A 坐标中描述的矢量转换为参考系 B 坐标。

特别有用的矩阵是

{\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}

基本旋转（也称为元素旋转）是围绕其中一个坐标轴的旋转。可以使用矩阵乘法从这三个矩阵得到其他旋转矩阵。

我们有时需要生成一个均匀分布的随机旋转矩阵。

在二维中似乎很直观，这意味着旋转角度均匀分布在 0 和 2π 之间。这种直觉是正确的，但不会延续到更高的维度。例如，如果我们以轴角形式分解 3 × 3 旋转矩阵，则角度不应该是均匀分布的；角度（大小）最多为 θ 的概率应该是 1 / π (θ − sin θ)，对于 0 ≤ θ ≤ π。

创建一个四元素向量，其中每个元素都是正态分布的样本。标准化它的长度，你有一个均匀采样的随机单位四元数，它代表一个均匀采样的随机旋转。请注意，上述仅适用于维度 3 的旋转。

矩阵表示法广泛用于描述旋转运动

在于便于顶点旋转变换：通过矩阵-向量乘法可直接作用于每个顶点坐标

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