Quaternion

Quaternion 四元数

在数学中，四元数系统扩展了复数。 四元数由爱尔兰数学家威廉·罗文·Hamilton于 1843 年[1][2] 首次描述，并应用于三维空间的力学。 Hamilton将四元数定义为三维空间中两条有向线的商，[3] 或者等效地，定义为两个向量的商。 [4] 四元数的乘法是不可交换的。

📌 两个向量的商：最初引入四元数是为了定义向量的除法

四元数一般用以下形式表示

$${\displaystyle a+b\ \mathbf {i} +c\ \mathbf {j} +d\ \mathbf {k} }$$

其中 a、b、c 和 d 是实数； i, j, k 是基本四元数。

四元数用于纯数学，但在应用数学中也有实际用途，特别是用于涉及三维旋转的计算，例如三维计算机图形学、计算机视觉和晶体纹理分析。 [5] 它们可以与其他旋转方法一起使用，例如欧拉角和旋转矩阵，或者作为它们的替代方法，具体取决于应用程序。

定义

四元数的表达形式为

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \ ,}$$

其中 a、b、c、d 是实数，i、j、k 是可以解释为指向三个空间轴的单位向量的符号。 在实际应用中，如果a、b、c、d之一为0，则省略对应项； 如果a、b、c、d都为零，则该四元数是零四元数，记为0； 如果 b、c、d 中的一个等于 1，则相应的项只写为 i、j 或 k。

或

$$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} \mathbf{s} &\mathbf{v} \end{bmatrix}$$

s为标量，v为向量

计算

\(a\mathbf{q} =\begin{bmatrix} as &a\mathbf{v} \end{bmatrix}\quad\) Scalar-quaternion Multiplication

\(\mathbf{q} _1±\mathbf{q} _2 =\begin{bmatrix} \mathbf{s}_1±\mathbf{s}_2 & \mathbf{v} _1 ± \mathbf{v} _2 \end{bmatrix}\quad\quad\) Addition/Subtraction

\(\mathbf{q} _1×\mathbf{q} _2= \begin{bmatrix} \mathbf{s} _1\mathbf{s} _2−\mathbf{v} _1\cdot \mathbf{v} _2 & \mathbf{s} _1\mathbf{v} _2+\mathbf{s} _2\mathbf{v} _1+\mathbf{v} _1×\mathbf{v} _2 \end{bmatrix}\quad\quad\) Multiplication

\(||\mathbf{q} ||=\sqrt{\mathbf{s^2+v\cdot v} } \quad\quad\)Magnitude

和分量标量乘法

📌 分量标量乘：依次让每个分量的系数与一个标量相乘。 标量即0维数字

$${\displaystyle \lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\,\mathbf {i} +(\lambda c)\,\mathbf {j} +(\lambda d)\,\mathbf {k} .}$$

性质

不可交换：q2q1 != q1q2 结合：(q1q2)q3 = q1(q2q3) 满足乘法结合律和加法分配律

根据Hamilton 积的定义每个非零四元数都有逆：

$${\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).}$$

用四元数表示旋转

角轴转四元数

四元数转旋转

$$\mathbf{R}=\begin{bmatrix} s^2+x^2-y^2-z^2 & 2(xy-sz) & 2(xz+sy)\\\\ 2(xy+sz) & s^2-x^2+y^2-z^2 & 2(yz-sx) \\\\ 2(xz-sy) & 2(yz+sx) & s^2-x^2-y^2+z^2 \end{bmatrix}$$

优势与局限性

优势

1. 不易受到“万向节死锁”的影响。

2. 比矩阵更快、更紧凑。

3. 插值结果更稳定。