3D变换(3D Transformation)

如果用齐次坐标来表示三维的点或向量，和二维的情况相似：

• 3D point = \((x, y, z, 1)^{T}\)

• 3D vector = \((x, y, z, 0)^{T}\)

则一个齐次坐标 \((x, y, z, w)^{T}\) \((w\ne 0)\) 表示的点为 \(\left( \frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w} \right)\)

缩放(Scale)

\[ S\left( s_x, s_y, s_z \right) =\left( \begin{matrix} s_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right) \]

平移(Translation)

\[ T\left( t_x, t_y, t_z \right) =\left( \begin{matrix} 1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right) \]

旋转(Rotation)

自然旋转

📌自然旋转： 绕着某一个坐标轴旋转。

💡思考： 当绕着x轴旋转时，矩阵在x轴上的坐标值是不变的，因此在变换矩阵中，与X相乘的部分，是 \((1 ,0 , 0)\)，绕y、z轴同理。

绕x轴旋转：

\[ R_x\left( \alpha \right) =\left( \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha& -\sin \alpha& 0\\ 0& \sin \alpha& \cos \alpha& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right) \]

绕y轴旋转：

\[ R_y\left( \alpha \right) =\left( \begin{matrix} \cos \alpha& 0& \sin \alpha& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \alpha& 0& \cos \alpha& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right) \]

💡思考： 上式的变换矩阵，与x、z不同，是 \(R_{-\theta}\) 而不是 \(R_{\theta}\)，这是为什么呢？

因为绕y旋转，如果使用 \(R_\theta\)，那么可以认为在计算过程中x和z坐标在变化，有 \(\left( \begin{array}{c} X'\\ Z'\\ \end{array} \right) =R_{\theta}\cdot \left( \begin{array}{c} X\\ Z\\ \end{array} \right) =\left( \begin{matrix} \cos \theta& -\sin \theta\\ \sin \theta& \cos \theta\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} X\\ Z\\ \end{array} \right) \) , 但是， \(\vec{x}\times \vec{z}=-\vec{y}\)，也就是说，使用 \(R_\theta\) 会导致绕y旋转是顺时针旋转，而我们约定了，旋转默认是逆时针旋转，所以需要用 \(R_{-\theta}=\left( \begin{matrix} \cos \theta& \sin \theta\\ -\sin \theta& \cos \theta\\ \end{matrix} \right) \)

绕z轴旋转：

\[ R_z\left( \alpha \right) =\left( \begin{matrix} \cos \alpha& -\sin \alpha& 0& 0\\ \sin \alpha& \cos \alpha& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right) \]

一般旋转

任意一个3D旋转，可以写成：

\[ R_{xyz}\left( \alpha , \beta , \gamma \right) =R_x\left( \alpha \right) R_y\left( \beta \right) R_z\left( \gamma \right) \]

也就是说，一般旋转可以由绕x、y、z轴的自然旋转组合而成。

在图形学中，任意旋转用矩阵表达为（Rodrigues' Rotation Formula）：

\[ R\left( \mathbf{n},\alpha \right) =\cos \left( \alpha \right) \mathbf{I}+\left( 1-\cos \left( \alpha \right) \right) \mathbf{nn}^{\mathrm{T}}+\sin \left( \mathrm{\alpha} \right) \underset{\mathrm{N}}{\underbrace{\left( \begin{matrix} 0& -n_z& n_y\\ n_z& 0& -n_x\\ -n_y& n_x& 0\\ \end{matrix} \right) }} \]

公式推导：(暂无)

为解决旋转插值问题，参考四元数link。

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