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# 逆变换(Inverse transform)

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> 💡 当一个变换是通过\\(M\\)得到的，那么可以通过\\(M\\)的逆\\(M^{-1}\\)来恢复变换。

## 旋转的逆变换

再次来看矩阵旋转 \\(X'=R\_{\theta}X\\) :

我们将 \\(X\\) 旋转 \\(\theta\\) 度， \\(R\_{\theta}\\) 为：

\\\[\
R\_{\theta}=\left( \begin{matrix}\
\cos \theta& -\sin \theta\\\\\
\sin \theta& \cos \theta\\\\\
\end{matrix} \right)\
\\]

如果要逆转回来，恢复原来的矩阵，需要旋转 \\(-\theta\\) 度，根据上述旋转的推导，可以得到：

\\\[\
R\_{-\theta}=\left( \begin{matrix}\
\cos \theta& \sin \theta\\\\\
-\sin \theta& \cos \theta\\\\\
\end{matrix} \right)\
\\]

而 \\(R\_{-\theta}\\) 恰好是 \\(R\_{\theta}\\) 的转置矩阵 \\(R\_{\theta}^{T}\\)， 即：

\\\[\
R\_{-\theta}=R\_{\theta}^{T}\
\\]

由 “当一个变换是通过\\(M\\)得到的，那么可以通过\\(M\\)的逆\\(M^{-1}\\)来恢复变换” 可知，\\(R\_{\theta}^{-1}\\) 与刚刚旋转 \\(-\theta\\) 推导得到的 \\(R\_{\theta}\\) 相等，即：

\\\[\
R\_{\theta}^{-1}=R\_{-\theta}\
\\]

于是有：

\\\[\
R\_{-\theta}=R\_{\theta}^{-1}=R\_{\theta}^{T}\
\\]

***

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