calculus

微分

$$\begin{aligned} dx = \Delta x \\ dy = f'(x)dx \\ \Delta y = dy + O(\Delta x) f'(x) = \frac{dy}{dx} \end{aligned}$$

积分

$$\int_a^bf(x)dx = \lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(\epsilon_i)\Delta x$$

说明： $\lambda\rightarrow 0$：划分越线越好 $\sum_{i=1}^n$：所有子区间的面积之和 $f(\epsilon_i)$：用子区间内一个点的y代表整个区间的y $\Delta x$：子区间的x

微积分的基本定理

第一基本定理

设实函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，如果

$$F(x) = \int_a^x f(t)dt$$

那么F(x)可导，且$F'(x) = f(x)$

第二基本定理 牛顿-莱布尼茨公式

若函数f(x)在[a, b]上连续，且存在原函数$F'(x) = f(x)$，则f(x)在[a, b]上可积，且

$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$

积分中值定理

若函数f(x)在[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一点$\xi$，使得：

$$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$$