# orthogonal

## 正交

向量x与向量y**正交**：$x^Ty=0$

向量x与向量y**标准正交**：$x^Ty=0$ 且$||x||\_2=1$且$||y||\_2=1$

**正交矩阵**:行向量和列向量分别标准正交的方阵，有以下性质：

$$
\begin{aligned} A^TA = AA^T = I \ A^{-1} = A^T \text {求逆计算代价小} \end{aligned}
$$

## Gram-Schmidt正交化

线性无关向量组未必是正交向量组，但正交向量组又是重要的，因此现在就有一个问题：能否

* 从一个线性无关向量组$a\_1, a\_2, \cdots, a\_m$出发，
* 构造出一个标准正交向量组$e\_1, e\_2, \cdots, e\_m$，
* 并且使向量组$a\_1, a\_2, \cdots, a\_r$与向量组$e\_1, e\_2, \cdots, e\_r$等价r=(1,2,...,m)呢?

答：施密特正交化方法。\
以3个向量组成的线性无关组为例

### 第一步：线性无关向量组（a1,a2,a3） ---> 正交向量组(b1,b2,b3)

令: b1 = a1\
b2 = a2 - k \* b1\
b3 = a3 - k1 \* b1 - k2 \* b2

由于b1、b2、b3互相正交，\
b1 \* b2 = 0 ==> k = $\frac{\<a2, b1>}{\<b1, b1>}$\
b1 \* b3 = 0 && b2 \* b3 = 0 ==> $k1 = \frac{\<a3, b1>}{b1, b2}$， $k2 = \frac{\<a3, b2>}{b2, b2}$

### 第二步：正交向量组（b1,b2,b3） ---> 标准正交向量组（e1,e2,e3）

$$
e\_i = \frac{b\_i}{||b\_i||}
$$