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# 2D仿射变换(2D Affine Transformation)

## 平移

我们先看平移变换：

<div align="left"><img src="https://2038183336-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-Lv4KY8barIvUvw6Ju8e%2Fuploads%2Fgit-blob-f3efcc473421c55e6918c031ebc197cf64bbdb91%2F%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E5%8F%98%E6%8D%A2.jpg?alt=media" alt="" width="500"></div>

平移变换非常简单，可以由下面的式子表示：

\\\[\
x'=x+t\_x\\\\\
y'=y+t\_y\
\\]

但是有一个问题，我们不能把上述式子直接用矩阵的形式表达，需要在矩阵运算后再加一个偏移量：

\\\[\
\left\[ \begin{array}{c}\
x'\\\\\
y'\\\\\
\end{array} \right] =\left\[ \begin{matrix}\
a& b\\\\\
c& d\\\\\
\end{matrix} \right] \left\[ \begin{array}{c}\
x\\\\\
y\\\\\
\end{array} \right] +\left\[ \begin{array}{c}\
t\_x\\\\\
t\_y\\\\\
\end{array} \right]\
\\]

> 📌如果只有平移，则 \\(a,b,c,d\\) 构成一个单位矩阵

> **💡思考：** 平移不是线性变换，不满足\\(X'=MX\\)

## 齐次坐标

为了解决“平移变换不能够线性变换表示”的问题，将坐标或向量添加一项(以2D为例)：

* 2D point = \\((x, y, 1)^T\\)
* 2D vector = \\((x, y, 0)^T\\)

这样，就可以用统一的X'=MX形式兼容线性变换和平移变换了：

\\\[\
\left( \begin{array}{c}\
x'\\\\\
y'\\\\\
w'\\\\\
\end{array} \right) =\left( \begin{matrix}\
1& 0& t\_x\\\\\
0& 1& t\_y\\\\\
0& 0& 1\\\\\
\end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{array}{c}\
x\\\\\
y\\\\\
1\\\\\
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}\
x+t\_x\\\\\
y+t\_y\\\\\
1\\\\\
\end{array} \right)\
\\]

> 💡 当前维度解决不了的问题，可以考虑升维解决。\
> 📌 为point增加一项1，因为point移动后不再是原来的point。为vector添加一项0，是因为向量具有平移不变性，向量平移后仍然是原向量。

> 📌 \\((x, y, w)^T\\) 如果用于表达2D点，等同于\\((\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, 1)\\)

添加项是否存在，不影响point与vector之间运算的意义：

\\\[\
vector + vector = vector\\\\\
point + vector = point\\\\\
point - point = vector\\\\\
point + point = 两点的中点（齐次坐标下）\
\\]

**齐次坐标的性质：**

* 有 \\((x, y, z, 1)\\) 这样一个坐标，那么为该坐标乘以一个不为0的数 \\(k\\)，即 \\((kx, ky, kz, k)\\)，结果不变。
* 同理，给该坐标乘以坐标本身的 \\(z\\) 值，它仍然表示着3D中的相同点。即 \\((xz, yz, z^2, z)\\)，结果不变。
* 例如： \\((1, 0, 0, 1)\\) 和 \\((2, 0, 0, 2)\\) 都表示 \\((1, 0, 0)\\)

## 仿射变换(Affine transformation)

线性变换 + 平移 = 仿射变换\
所有的仿射变换，可以以齐次坐标的形式表达：

\\\[\
\left\[ \begin{array}{c}\
X'\\\\\
1\\\\\
\end{array} \right] =\left\[ \begin{matrix}\
SR& T\\\\\
0& 1\\\\\
\end{matrix} \right] \left\[ \begin{array}{c}\
X\\\\\
1\\\\\
\end{array} \right]\
\\]

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