核函数与核技巧

核函数

设${\Bbb X}$是输入空间（欧氏空间$R^n$的子集或离散集合），又设${\Bbb H}$为特征空间（希尔伯特空间），如果存在从x到${\Bbb H}$的映射

$$\phi(x): {\Bbb X} \rightarrow {\Bbb H}$$

使得对所有$x,z \in {\Bbb X}$，函数$K(x,z)$满足条件：

$$K(x, z) = \phi(x) \cdot \phi(z)$$

则称$K(x,z)$为核函数，$\phi(x)$为映射函数，式中$\phi(x) \cdot \phi(z)$为$\phi(x)$和$\phi(z)$的内积。

核技巧

在学习与预测中只定义核函数$K(x,z)$，而不显式地定义映射函数$\phi$。