学习策略的推导

策略是指按照什么样的准则学习或者选择最优的模型。 感知机是判别模型，它通过学习得到一个超平面，这个超平面将样本分为正负两类。 使用的策略为：使误分类的点到超平面的距离之和最小

令M为误分类的点的集合，则损失函数为：

L(w,b)=∑xi∈Mdis(xi)1\begin{aligned} L(w, b) = \sum_{x_i \in M}dis(x_i) && {1} \end{aligned}

点x0x_0到超平面y=w⋅x+by = w \cdot x + b的距离为：

dis(x0)=∣w⋅x0+b∣∣∣w∣∣2=∣y0(w⋅x0+b)∣∣∣w∣∣3=−y0(w⋅x0+b)∣∣w∣∣4\begin{aligned} dis(x_0) = \frac {|w \cdot x_0 + b|}{||w||} && {2} \\ = \frac {|y_0 (w\cdot x_0 + b)|}{||w||} && {3} \\ = \frac { - y_0 (w\cdot x_0 + b)}{||w||} && {4} \end{aligned}

公式说明： 1. 公式（1）：点到超平面的距离公式，∣∣w∣∣||w||是ww的L2L_2范数 2. 公式（2）：y = -1或1 3. 公式（3）：由感知机模型的定义可知，如果x0x_0是误分类的点，即x0∈Mx_0 \in M， 则w⋅x0+bw\cdot x_0 + b与y0y_0符号相反，即y0(w⋅x0+b)<0y_0 (w\cdot x_0 + b) < 0

结合公式（1）和公式（4）得：

L(w,b)=∑xi∈M−yi(w⋅xi+b)∣∣w∣∣5\begin{aligned} L(w, b) = \sum_{x_i \in M}\frac { - y_i (w\cdot x_i + b)}{||w||} && {5} \end{aligned}

不考虑公式（5）中的∣∣w∣∣||w||，得到最终的损失函数公式如下：

L(w,b)=−∑xi∈Myi(w⋅xi+b)6\begin{aligned} L(w, b) = - \sum_{x_i \in M}y_i (w \cdot x_i + b) && {6} \end{aligned}

为什么公式（5）不考虑分母∣∣w∣∣||w||?

感知机的算法过程需要对目标函数求导。 公式（5）的求导结果为：

∇wL(w,b)=−1∣∣w∣∣∑xi∈Myixi∇bL(w,b)=−1∣∣w∣∣∑xi∈Myi7\begin{aligned} \nabla_wL(w,b) = - \frac{1}{||w||}\sum_{x_i \in M}y_ix_i \\ \nabla_bL(w,b) = - \frac{1}{||w||}\sum_{x_i \in M}y_i && {7} \end{aligned}

||w||为w的长度，大小始终非负。 从公式（7）可以看出，||w||的存在，不影响梯度的方法，仅影响梯度下降的步长。 对于感知机梯度下降法的迭代过程，它只要求每次移动的方向是正确的，并不care移动的步长。 所以||w||是否存在不影响感知机算法的最终结果。为什么简化计算，就在目标函数中去掉了分母||w||。 每次迭代不care步长，正是在cs229中被置疑的地方。

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