推导1

$$\begin{aligned} L(a_1, a_2) = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Na_ia_jy_iy_jK(x_i, x_j) - \sum_{i=1}^Na_i && {1} \end{aligned}$$

为了简化公式，令：

$$\begin{aligned} f(i, j) = a_ia_jy_iy_jK(x_i,x_j) && {2} \end{aligned}$$

公式（1）简化为：

$$\begin{aligned} L(a_1, a_2) = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nf(i,j) - \sum_{i=1}^Na_i && {3} \end{aligned}$$

在公式（3）中，将$a_1$、$a_2$是变量，其它参数a是常量，把公式（3）分成包含变量的部分和常量部分：

$$\begin{aligned} L(a_1, a_2) = f(1,1)+f(1,2)+\sum_{j=3}^Nf(1,j) \\ +f(2,1)+f(2,2)+\sum_{j=3}^Nf(2,j) \\ +\sum_{i=3}^Nf(i,1)+\sum_{i=3}^Nf(i,2) + +\sum_{i=3}^N\sum_{j=3}^Nf(i,j) \\ -a_1 - a_2 - \sum_{i=3}^Na_i && {4} \end{aligned}$$

要L(a_1, a_2)对a_1和a_2求导，公式（4）中的常数部分对求导结果不影响，直接合并为一个不需要关心具体内容的常数项，得：

$$\begin{aligned} L(a_1, a_2) = f(1,1)+f(1,2)+\sum_{j=3}^Nf(1,j) \\ +f(2,1)+f(2,2)+\sum_{j=3}^Nf(2,j) \\ +\sum_{i=3}^Nf(i,1)+\sum_{i=3}^Nf(i,2) \\ -a_1 - a_2 + \text{常数项}&& {5} \end{aligned}$$

根据f(i,j)的定义可知，f具有对称性，得：

$$\begin{aligned} L(a_1, a_2) = f(1,1)+2f(1,2)+f(2,2) \\ +2\sum_{j=3}^Nf(1,j) +2\sum_{j=3}^Nf(2,j) \\ -a_1 - a_2 + \text{常数项}&& {6} \end{aligned}$$