7.3.2 正定核

这一节大部分没看懂。就把看懂的部分记一下。

证明：Gram矩阵是半正定的，则存在从X到H的映射$\phi$

公式7.69：

$$\phi:x \rightarrow K(\cdot,x)$$

这是一个映射函数，把一个向量x映射成另一个向量$K(\cdot,x)$

公式7.70：

$$f(\cdot) = \sum_{i=1}^ma_iK(\cdot, x_i)$$

$x_i$是x中的任意向量。$f(\cdot)$是x是任意向量的线性组合。

集合S：$K(\cdot, x_i)$的各种线性组合的结果构成一个集合。

S构成向量空间：因为S满足加法封闭性的乘法封闭性。

S构成内积空间： 具有内积运算的向量空间是内积空间。因此要为S定义一个满足内积属性的内积操作。 令A，B是S上的两个元素，分别是$K(\cdot,x)$的两种任意的线性组合的结果。定义S上的内积操作为：

$$\begin{aligned} A = \sum_{i=1}^ma_iK(\cdot, x_i) \\ B = \sum_{j=1}^l\beta_jK(\cdot, x_j) \\ A \cdot B = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^la_i\beta_jK(x_i, z_j) \end{aligned}$$

这个内积操作满足属性：对称性、左线性、正定性

从3开始就看不懂了

证明：K(x,z)是正定核的充要条件是K(x,z)对应的Gram矩阵是正定的。