# 7.3.2 正定核

这一节大部分没看懂。就把看懂的部分记一下。

## 证明：Gram矩阵是半正定的，则存在从X到H的映射$$\phi$$

公式7.69：

$$
\phi:x \rightarrow K(\cdot,x)
$$

这是一个映射函数，把一个向量x映射成另一个向量$$K(\cdot,x)$$

公式7.70：

$$
f(\cdot) = \sum\_{i=1}^ma\_iK(\cdot, x\_i)
$$

$$x\_i$$是x中的任意向量。$$f(\cdot)$$是x是任意向量的[线性组合](https://windmising.gitbook.io/mathematics-basic-for-ml/xian-xing-dai-shu/vector)。

集合S：$$K(\cdot, x\_i)$$的各种线性组合的结果构成一个集合。

S构成[向量空间](https://windmising.gitbook.io/mathematics-basic-for-ml/xian-xing-dai-shu/vector)：因为S满足加法封闭性的乘法封闭性。

S构成[内积空间](https://windmising.gitbook.io/mathematics-basic-for-ml/xian-xing-dai-shu/vector)： 具有内积运算的向量空间是内积空间。因此要为S定义一个满足内积属性的内积操作。\
令A，B是S上的两个元素，分别是$$K(\cdot,x)$$的两种任意的线性组合的结果。定义S上的内积操作为：

$$
\begin{aligned}
A = \sum\_{i=1}^ma\_iK(\cdot, x\_i)   \\
B = \sum\_{j=1}^l\beta\_jK(\cdot, x\_j)  \\
A \cdot B = \sum\_{i=1}^m\sum\_{j=1}^la\_i\beta\_jK(x\_i, z\_j)
\end{aligned}
$$

这个内积操作满足属性：对称性、左线性、正定性

**从3开始就看不懂了**

## 证明：K(x,z)是正定核的充要条件是K(x,z)对应的Gram矩阵是正定的。