推导4

根据对偶函数的限制条件可知：

$$\begin{aligned} 0 \le a_1 \le C \\ 0 \le a_2 \le C && {1} \end{aligned}$$

把$a_2$用$a_1$表示得：

$$\begin{aligned} 0 \le \frac {-\xi - a_2y_2}{y_1} \le C &&{2} \end{aligned}$$

由于$y_1$和$y_2$的取值只能是1或者-1，而1或-1会对不等号的化简影响不同，所以把公式（2）分成4种情况：

1. $y_1 = y_2 = 1$

   $$\begin{aligned} -C - \xi \le a_2 \le -\xi \\ a_1+a_2=-\xi \end{aligned}$$

   得：

   $$-C+a_1+a_2 \le a_2^{new} \le a_1 + a_2$$
2. $y_1 = 1, y_2 = -1$

   $$\begin{aligned} \xi \le a_2 \le C+\xi \\ a_2 - a_1 = \xi \end{aligned}$$

   得：

   $$a_2 - a_1 \le a_2^{new} \le C + a_2 - a_1$$
3. $y_1 = -1, y_2 = 1$

   $$\begin{aligned} -\xi \le a_2 \le C-\xi \\ a_2 - a_1 = -\xi \end{aligned}$$

   得：

   $$a_2 - a_1 \le a_2^{new} \le C + a_2 - a_1$$
4. $y_1 = y_2 = -1$

   $$\begin{aligned} \xi-C \le a_2 \le \xi \\ a_1 + a_2 = \xi \end{aligned}$$

   得：

   $$-C+a_1+a_2 \le a_2^{new} \le a_1 + a_2$$

综合以上结果得： 当y1y2<0时，

$$\max (0, a_2 - a_1) \le a_2^{new} \le \min(C, C + a_2 - a_1)$$

当y1y2>0时，

$$\max (0, -C+a_1+a_2) \le a_2^{new} \le \min(C, a_1 + a_2)$$