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# 决策树的模型

## 特征的选择

决定用哪个特征来划分特征空间。\
通过**信息增益**选取对训练数据具有分类能力的特征。

[熵](https://windmising.gitbook.io/mathematics-basic-for-ml/xin-xi-lun/entropy)

信息增益g(D,A)定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差，即

$$
g(D, A) = H(D) - H(D|A)
$$

信息熵增益准则的特征选择方法：对训练数据集（或子集）D，计算其每个特征的信息增益，并比较它们的大小，选择信息增益最大的特征。

## 决策树的生成

生成最优决策树是NP完全问题。\
因此使用启发式方法，生成次最优决策树。\
即递归选择最优特征。

## 决策树的修剪

生成的决策树容易发生过拟合，需要修剪。\
决策树的生成是寻找局部最优的决策树。\
决策树的修剪则是寻找全局最优的决策树。

决策树的剪枝往往通过极小化决策树整体的损失函数来实现\
定义：\
T：修剪前的决策树\
|T|：T的叶子结点树\
t：T的某个叶结点\
$$N\_t$$：叶结点t的样本数\
$$N\_{tk}$$：叶结点t的样本中标签为k的样本树\
$$H\_t(T)$$：叶结点t上的经验熵\
a：参数，$$a \ge 0$$ 损失函数：

$$
\begin{aligned}
C\_a(T) = C(T) + a|T|  && {1}
C(T) = \sum^{|T|}N\_tH\_t(T)  && {2}
p\_k = \frac{N\_{tk}}{N\_t} && {3}
H\_t(T) = -\sum^Kp\_k\log p\_k && {4}
\end{aligned}
$$

说明：\
公式（1）中的第1项为模型对训练数据预测误差，代表模型的模拟度\
公式（1）代表模型的复杂度\
公式（1）中的a代表平衡模型拟合度和复杂度之间的关系

损失函数极小化 = 正则化的极大似然估计